來(lái)源頭條作者:教育心話(huà)

大家好！今天和大家分享一道美國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題：解方程組。題目是一個(gè)三元方程組，而且還含有根號(hào)，但是不少?lài)?guó)內(nèi)初中生看過(guò)題目后都表示這就是一道送分題，甚至很多中考題都比這道題要難。那么我們一起來(lái)看一下這道美國(guó)的競(jìng)賽題。

看到第2個(gè)方程，不少人第一時(shí)間都想到了一個(gè)方法：設(shè)這個(gè)比例的值為k，這是國(guó)內(nèi)初中數(shù)學(xué)常用的一種處理方法。這樣設(shè)出來(lái)后，可以得到x=3k，y=4k，z=5k，然后代入第一個(gè)方程就得到一個(gè)關(guān)于k的方程。這個(gè)方法實(shí)際上也是一種換元法。

換元代入并整理可得到：24k-5√(12k+5)=2這樣一個(gè)更簡(jiǎn)單的方程。因?yàn)楹懈?hào)，所以可以將含有根號(hào)的移到等號(hào)的一邊，沒(méi)有根號(hào)的移到另一邊，再兩邊平方即可去掉根號(hào)，從而得到一個(gè)關(guān)于k的一元二次方程。這也是一個(gè)常規(guī)處理方法，難度并不大。

得到的這個(gè)一元二次方程的系數(shù)比較大，如果用求根公式的話(huà)計(jì)算量太大，容易出錯(cuò)，所以先考慮用因式分解的方法求解。

因式分解時(shí)，數(shù)字較大，不太好計(jì)算。觀察數(shù)字特點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)的分解方式最少，在整數(shù)范圍內(nèi)只有1×121和11×11兩種，所以考慮從常數(shù)項(xiàng)入手。最終可以分解為(48k+11)(12k-11)=0，從而求出k的值。

求出k的值后能夠非常容易得到x、y、z的值。但是k是兩個(gè)值，那么需要驗(yàn)證兩個(gè)值是否都滿(mǎn)足題意。經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，k為負(fù)數(shù)時(shí)明顯不滿(mǎn)足題意，所以k=11/12。

上面的方法是一個(gè)非常容易想到的方法，但是計(jì)算量比較大，而且對(duì)得到的k的值還需要討論，過(guò)程稍顯復(fù)雜。下面來(lái)看另外一種換元法，過(guò)程就要簡(jiǎn)單多了。

設(shè)√(x+y+z+5)=t，很明顯t≥0了，并且可以得到x+y+z=t2-5，再代入第一個(gè)方程并整理可以得到2t2-5t-12=0。這個(gè)方程明顯比解法1中的方程更簡(jiǎn)單了。

解出這個(gè)關(guān)于t的方程后，舍去負(fù)數(shù)的值，這樣就可以得到x+y+z=11，然后再用第二個(gè)方程換元，非常容易就可以得到x、y、z的值。

這道美國(guó)競(jìng)賽題的難度確實(shí)不大，用平時(shí)最常用的方法就能解出來(lái)，所以不少?lài)?guó)內(nèi)學(xué)生表示還沒(méi)有某些中考題難。你覺(jué)得呢？